MECÂNICA GRACELI - ESTATÍSTICA QUÂNTICA TENSORIAL DE CAMPOS [580]

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

Na física relativística, o tensor eletromagnético tensão–energia é a contribuição para o tensor tensão–energia devido ao campo eletromagnético.^[1] O tensor tensão–energia descreve o fluxo de energia e momento no espaço-tempo. O tensor eletromagnético de tensão–energia contém o negativo do tensor de tensão de Maxwell clássico que governa as interações eletromagnéticas.

Definição

Unidades do S.I.

No espaço livre e no espaço-tempo plano, o tensor eletromagnético tensão–energia em unidades do S.I. é:^[2]

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.

onde $F^{\mu \nu }$ é o tensor eletromagnético e onde $\eta _{\mu \nu }$ é o tensor métrico de Minkowski [en] de assinatura métrica (− + + +). Ao usar a métrica com assinatura (+ − − −), a expressão à direita do sinal de igual terá sinal oposto.

Explicitamente em forma de matriz:

T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}},

onde

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,

é o vetor de Poynting,

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}

é o tensor de tensão de Maxwell e c é a velocidade da luz. Assim, $T^{\mu \nu }$ é expresso e medido em unidades de pressão do S.I. (pascal).

Convenções de unidades C.G.S.

A permissividade do espaço livre e a permeabilidade do espaço livre em unidades gaussianas [en] c.g.s. são:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\epsilon _{0}={\frac {1}{4\pi }},\quad \mu _{0}=4\pi \,

então:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

T^{\mu \nu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.

e na forma de matriz explícita:

T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+B^{2}\right)&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}}

onde o vetor de Poynting se torna:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .

O tensor tensão-energia para um campo eletromagnético em um meio dielétrico é menos bem compreendido e é o assunto da controvérsia não resolvida de Abraham – Minkowski.^[3]

O elemento $T^{\mu \nu }\!$ do tensor tensão-energia representa o fluxo do μ-ésimo componente do quadrimomento do campo eletromagnético, $P^{\mu }\!$ , passando por um hiperplano ( $x^{\nu }$ é constante ). Representa a contribuição do eletromagnetismo para a fonte do campo gravitacional (curvatura do espaço-tempo) na relatividade geral.

O tensor de energia-momento, também chamado tensor energia-impulso é uma quantidade tensorial em relatividade. Descreve o fluxo de energia e momento e satisfaz a equação de continuidade:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0

A grandeza

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

P^{\mu }={\frac {1}{c}}\int _{V}T^{0\mu }\ d^{3}\mathbf {x}

sobre uma seção de tipo espaço dá o quadrivetor energia-momento ou quadrimomento. Este tensor é a corrente de Noether associada às translações no espaço-tempo. Na relatividade geral, esta grandeza atua como a fonte do curvatura do espaço-tempo, e é a densidade de corrente associada às transformações de gauge (neste caso transformações de coordenadas) pelo teorema de Noether. Ainda que, no espaço-tempo curvado, a integral de tipo espaço depende da seção de tipo espaço, em geral. Não há de fato maneira de definir um vetor global de energia-momento num espaço-tempo curvado em geral.

Tensores relacionados

A parte tridimensional do tensor energia-momento coincide com o tensor tensão da mecânica de meios contínuos.

Exemplos

Fluido perfeito

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

$T_{\mu \nu }=(\rho +p)u_{\mu }u_{\nu }+pg_{\mu \nu }$

O tensor tensão de Cauchy na mecânica do contínuo, representado universalmente pelo símbolo ${\boldsymbol {\sigma }}\,\!$ , também chamado tensor tensão verdadeira^[1] ou simplesmente tensor tensão, denominado em memória de Augustin-Louis Cauchy, é um tensor tridimensional de segunda ordem, com nove componentes $\sigma _{ij}\,\!$ , que define completamente o estado de tensão em um ponto no domínio de um corpo material em sua configuração deformada. O tensor relaciona um vetor diretor de comprimento unitário n com o vetor tensão T⁽ⁿ⁾ sobre uma superfície imaginária perpendicular a n,

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{ou}}\quad T_{j}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{i}\,\!.

Para os eixos coordenados da Figura 1, usando notação indicial,

{\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]\,\!.

O tensor tensão de Cauchy obedece a lei de transformação de tensores sobre uma mudança de sistema de coordenadas. Uma representação gráfica desta lei de transformação é o círculo de Mohr para tensões.

O tensor tensão de Cauchy é usado para a análise de tensões de corpos materiais submetidos a pequenas deformações. É um conceito central da teoria da elasticidade linear. Para grandes deformações, também denominado teoria das deformações finitas, outras medidas de tensão são necessárias, tais como o tensor tensão de Piola-Kirchhoff, o tensor tensão de Biot e o tensor tensão de Kirchhoff.

De acordo com o princípio da conservação do momento linear, se o corpo contínuo está em equilíbrio estático pode ser demonstrado que as componentes do tensor tensão de Cauchy em todo ponto material do corpo satisfaz as equações de equilíbrio (equações de movimento de Cauchy para aceleração nula). Ao mesmo tempo, de acordo com o princípio da conservação do momento angular, o equilíbrio requer que a soma dos momentos em relação a um ponto arbitrário seja nula, o que leva à conclusão de que o tensor tensão é simétrico, havendo assim somente seis componentes independentes de tensão, ao invés das nove originais.

Há alguns invariantes associados ao tensor tensão, cujos valores não dependem do sistema de coordenadas usado, ou da área do elemento sobre a qual o tensor tensão atua. Estes são os três autovalores do tensor tensão, que são denominados tensões principais.

Princípio da tensão de Euler-Cauchy - o vetor tensão

Figura 2.1a: Distribuição interna de forças e momentos sobre um diferencial

dS\,\!

da superfície interna

S\,\!

em um contínuo, como resultado da interação entre as duas porções do contínuo separadas pela superfície

Figura 2.1b: Distribuição interna de forças e momentos sobre um diferencial

dS\,\!

da superfície interna

S\,\!

em um contínuo, como resultado da interação entre as duas porções do contínuo separadas pela superfície

Figura 2.1c: Vetor tensão sobre uma superfície interna S com vetor normal n. Dependendo da orientação do plano em consideração, o vetor tensão pode não necessariamente ser perpendicular ao plano, i.e. paralelo a

\mathbf {n} \,\!

, e pode ser decomposto em duas componentes: uma componente normal ao plano , chamada tensão normal

\sigma _{\mathrm {n} }\,\!

, e outra componente paralela a este plano, chamada tensão cisalhante

\tau \,\!

O princípio da tensão de Euler–Cauchy estabelece que sobre qualquer superfície (real ou imaginária) que divide o corpo, a ação de uma parte do corpo sobre a outra é equivalente ao sistema de forças e momentos distribuídos sobre a superfície dividindo o corpo,^[2] sendo representada por um campo $\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}$ , denominado vetor tensão, definido sobre a superfície $S\,\!$ e assumido depender continuamente do vetor unitário à superfície $\mathbf {n} \,\!$ .^[3]^[4]^:p.66–96

Para formular o princípio de tensão de Euler-Cauchy, considere uma superfície imaginária $S\,\!$ passando através de um ponto interno do material $P\,\!$ dividindo o corpo contínuo em 2 segmentos, como visto nas Figuras 2.1a ou 2.1b (pode-se usar quer o diagrama do plano de corte ou o diagrama com o volume arbitrário dentro do contínuo fechado pela superfície $S\,\!$ ).

Segundo a dinâmica clássica de Newton e Euler, o movimento de um corpo material é produzido pela ação de forças aplicadas externamente, as quais são assumidas como sendo de dois tipos: forças de superfície $\mathbf {F}$ e forças de corpo $\mathbf {b}$ .^[5] Deste modo, a força total ${\mathcal {F}}$ aplicada a um corpo ou a uma parte do corpo pode ser expressa como

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\mathcal {F}}=\mathbf {b} +\mathbf {F} \,\!.

Somente as forças de superfície serão discutidas neste artigo em que sejam relevantes para o tensor tensão de Cauchy.

Quando o corpo é submetido a forças de superfície externas ou forças de contato $\mathbf {F} \,\!$ , segundo as equações do movimento de Euler, as forças de contato internas e os momentos são transmitidos de um ponto a outro no corpo, e de um segmento para o outro através da superfície de separação $S\,\!$ , devido ao contato mecânico de uma parte do contínuo para a outra (Figura 2.1a e 2.1b). Em um elemento de área $\Delta S\,\!$ contendo $P\,\!$ , com o vetor normal $\mathbf {n}$ , a força de distribuição é equipolente à força de contato $\Delta \mathbf {F} \,\!$ e ao momento de superfície $\Delta \mathbf {M} \,\!$ . Em particular, a força de contato é dada por

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\Delta \mathbf {F} =\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\Delta S\,\!,

sendo $\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}$ a tração superficial média.

O princípio da tensão de Cauchy assegura^[6]^:p.47–102 que como $\Delta S\,\!$ torna-se muito pequeno e tende a zero, a taxa $\Delta \mathbf {F} /\Delta S\,\!$ torna-se $d\mathbf {F} /dS\,\!$ e o par de tensores de momento $\Delta \mathbf {M} \,\!$ desaparece. Em campos específicos da mecânica dos meios contínuos, o par de momento é assumido não desaparecer; no entanto, ramos clássicos da mecânica dos meios contínuos abordam materiais não polares que não consideram pares de momento e momentos de corpo.

O vetor resultante $d\mathbf {F} /dS\,\!$ é definido como a superfície de tração,^[7] também chamado vetor tensão,^[8] tração,^[4] ou vetor tração.^[6] dado por $\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}\mathbf {e} _{i}\,\!$ no ponto $P\,\!$ associado a um plano com o vetor normal $\mathbf {n} \,\!$

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{i}}{\Delta S}}={dF_{i} \over dS}\,\!.

Esta equação significa que o vetor tensão depende de sua localização no corpo e da orientação do plano sobre o qual ele atua.

Isto implica que a ação balanceadora das forças internas de contato gera uma densidade de forças de contato ou campo de trações de Cauchy^[5] $\mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)$ que representa a distribuição das forças internas de contato através do volume em uma particular configuração do corpo em um dado tempo $t\,\!$ . Este não é um campo vetorial porque o mesmo depende não apenas da posição $\mathbf {x}$ de um ponto material particular, mas também da orientação local do elemento de superfície como definido por seu vetor normal $\mathbf {n}$ .^[9]

Dependendo da orientação do plano sob consideração, o vetor tensão pode não ser necessariamente perpendicular àquele plano, i.e. paralelo a $\mathbf {n} \,\!$ , e pode ser decomposto em duas componentes (Figura 2.1c):

uma normal ao plano, chamada tensão normal

\psi ^{*}

onde

dF_{\mathrm {n} }\,\!

é a componente normal da força

d\mathbf {F} \,\!

na área diferencial

dS\,\!

e a outra paralela a este plano, chamada tensão cisalhante

\psi ^{*}

onde

dF_{\mathrm {s} }\,\!

é a componente tangencial da força

d\mathbf {F} \,\!

na área diferencial

dS\,\!

. A tensão cisalhante pode ser ainda decomposta em duas componentes mutuamente perpendiculares.

Postulado de Cauchy

De acordo com o Postulado de Cauchy, o vetor tensão $\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}$ permanece inalterado para todas as superfícies passando através do ponto $P\,\!$ e tendo o mesmo vetor normal $\mathbf {n} \,\!$ em $P\,\!$ ,^[7]^[10] i.e., tendo uma tangente comum em $P\,\!$ . Isto significa que o vetor tensão é uma função apenas do vetor normal $\mathbf {n} \,\!$ , não sendo influenciado pela curvatura das superfícies internas.

Lema fundamental de Cauchy

Uma consequência do postulado de Cauchy é o Lema Fundamental de Cauchy,^[7]^[1]^[11] também chamado de teorema recíproco de Cauchy,^[12]^:p.103–130 estabelecendo que o vetor tensão agindo sobre lados opostos da mesma superfície são iguais em magnitude e opostos em sentido. O lema fundamental de Cauchy é equivalente à Terceira Lei de Newton, expressa por

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

-\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(-\mathbf {n} )}.\,\!

Teorema da tensão de Cauchy—tensor tensão

O estado de tensões em um ponto do corpo é definido por todas as componentes do vetor tensão T⁽ⁿ⁾ associadas com todos os planos (infinitos em número) que passam através daquele ponto.^[13] Contudo, de acordo com o teorema fundamental de Cauchy,^[11] também chamado teorema da tensão de Cauchy,^[1] conhecendo apenas os vetores tensão sobre três planos mutuamente perpendiculares, o vetor tensão sobre qualquer outro plano passando através daquele ponto pode ser determinado através das equações de transformação de coordenadas.

O teorema da tensão de Cauchy estabelece que existe um campo tensorial de segunda ordem σ(x, t), denominado tensor tensão de Cauchy, independente de n, tal que T é um funcional linear de n

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{ou}}\quad T_{j}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{i}\,\!.

Esta equação implica que o vetor tensão T⁽ⁿ⁾ em qualquer ponto P em um contínuo associado com um plano com vetor unitário normal n pode ser expresso como uma função do vetor tensão sobre os planos perpendiculares aos eixos coordenados, i.e. em termos das componentes σ_ij do tensor tensão σ.

Para provar esta expressão, considere um tetraedro com três faces orientadas nos planos coordenados, e com uma área infinitesimal dA orientada em um sentido arbitrário especificado por um vetor unitário normal n (Figura 2.2). O tetraedro é formado cortando o elemento infinitesimal ao longo de um plano arbitrário n. O vetor tensão sobre este plano é denotado por T⁽ⁿ⁾. Os vetores tensão agindo sobre as faces do tetraedro são denotados por T^(e₁), T^(e₂) e T^(e₃), sendo por definição as componentes σ_ij do tensor tensão σ. Este tetraedro é também denominado tetraedro de Cauchy. O equilíbrio de forças, i.e. primeira lei do movimento de Euler (segunda lei do movimento de Newton), fornece

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dA-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\,dA_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\,dA_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\,dA_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}dA\right)\mathbf {a} \,\!,

Figura 2.2: Vetor tensão atuando sobre um plano com vetor unitário normal n.
Nota sobre a convenção de sinais: O tetraedro é formado cortando um paralelepípedo ao longo de um plano arbitrário n. Assim, a força atuando sobre o plano n é a reação exercida pela outra metade do paralelepípedo e tem o sinal oposto.

onde o lado direito representa a massa do tetraedro multiplicada por sua aceleração: ρ é a densidade, a a aceleração e h a altura do tetraedro, considerando o plano n como base. As áreas das faces do tetraedro perpendiculares aos eixos podem ser determinadas por projeção de dA sobre cada face (usando o produto escalar)

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

dA_{1}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{1}\right)dA=n_{1}\;dA\,\!,

dA_{2}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{2}\right)dA=n_{2}\;dA\,\!,

dA_{3}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{3}\right)dA=n_{3}\;dA\,\!,

e então substituindo na equação e cancelando dA por divisão

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}\right)\mathbf {a} \,\!.

Para considerar o caso limite quando o tetraedro reduz-se a um ponto, h deve convergir a zero (intuitivamente, o plano n é transladado o longo de n para O). Como resultado, o lado direito da equação converge para 0, e assim

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}\,\!.

Assumindo um elemento material (Figura 2.3) com planos perpendiculares aos eixos coordenados de um sistema de coordenadas cartesianas, o vetor tensão associado a cada um dos planos, i.e. T^(e₁), T^(e₂) e T^(e₃) pode ser decomposto em uma componente normal e duas componentes cisalhantes, i.e. componentes nas direções dos três eixos coordenados. Para o caso particular de uma superfície com vetor unitário normal orientado na direção do eixo x₁, denotando a tensão normal por σ₁₁ e as duas tensões cisalhantes como σ₁₂ e σ₁₃, resulta

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3}\,\!,

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{21}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3}\,\!,

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{31}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{32}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{33}\mathbf {e} _{3}\,\!.

Em notação indicial estas equações são expressas por

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}=T_{j}^{(\mathbf {e} _{i})}\mathbf {e} _{j}=\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}\,\!.

As nove componentes σ_ij do tensor tensão são componentes de um tensor cartesiano de segunda ordem denominado tensor tensão de Cauchy, que define completamente o estado de tensões em um ponto, dado por

{\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{ij}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]\,\!,

sendo σ₁₁, σ₂₂ e σ₃₃ as tensões normais, e σ₁₂, σ₁₃, σ₂₁, σ₂₃, σ₃₁ e σ₃₂ as tensões cisalhantes. O primeiro índice i indica que a tensão atua sobre um plano normal ao eixo x_i, e o segundo índice j denota a direção na qual a tensão atua. Uma componente de tensão é positiva se age no sentido positivo do eixo coordenado, e se o plano sobre o qual ela atua tem um vetor normal externo apontando no sentido da coordenada.

Assim, usando as componentes do tensor tensão

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\begin{aligned}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}\\&=\sum _{i=1}^{3}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}n_{i}\\&=\left(\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}\right)n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}}

ou, equivalentemente,

T_{j}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{ij}n_{i}.

Alternativamente, em forma matricial

\left[{\begin{matrix}T_{1}^{(\mathbf {n} )}&T_{2}^{(\mathbf {n} )}&T_{3}^{(\mathbf {n} )}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\,\!.

A representação do tensor tensão de Cauchy usando a notação de Voigt é vantajosa em vista da simetria do tensor tensão, expressando a tensão como um vetor de seis componentes na forma

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}&\sigma _{5}&\sigma _{6}\end{bmatrix}}^{T}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{22}&\sigma _{33}&\sigma _{23}&\sigma _{31}&\sigma _{12}\end{bmatrix}}^{T}.\,\!

A notação de Voigt é usada extensivamente na representação da relação tensão-deformação em mecânica dos sólidos e para a eficiência computacional em programas de mecânica estrutural numérica.

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MECÂNICA GRACELI - ESTATÍSTICA QUÂNTICA TENSORIAL DE CAMPOS [580]

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